Kurt Gödel, matematiksel nesne ve kavramların fiziksel dünyadan bağımsız bir varoluşa sahip olduğu fikri olan matematiksel gerçekçiliğe olan inancı nedeniyle materyalistler arasında "Platoncu" bir matematikçi olarak anılmıştır.
20. yüzyıl Batı felsefe tarihi açısından hayal kırıklıkları ile doludur. Modernitenin akla yüklediği kıymet ve önemin alt üst olduğu, ahlâkî yargıların bertaraf edildiği ve herhangi bir aşkın varlığı göz ardı etmenin alışkanlık hâle geldiği bu çağın en karakteristik şahsiyetlerinden bir tanesi Kurt Gödel’dir. Gödel ismini matematik, mantık veya felsefe ile iştigal etmiş kişiler mutlaka duymuşlardır. Özellikle onun “tamamlanmazlık teorisi” olarak bilinen ispatı, bahsi geçen hayal kırıklıklarının baş müsebbiplerindendir.
Rebecca Goldstein'ın "Eksiklik: Kurt Gödel'in İspatı ve Paradoksu", 20. yüzyılın en önemli mantıkçı ve matematikçilerinden birinin hayatına ve çalışmalarına bir bakış atmamızı sağlıyor. Gödel en çok, aritmetiğin temel ilkelerini ifade edecek kadar güçlü herhangi bir biçimsel sistemin, sistem içinde kanıtlanamayan doğru ifadelerin her zaman olacağı anlamında zorunlu olarak eksik olduğunu gösteren eksiklik teoremleriyle bilinir demiştik. Evet farkındayım böyle söyleyince karışık. Daha basit bir dil ve örnekle şöyle anlatabilirim: İçinde tüm matematik kurallarının bulunduğu büyük bir kitabınız olduğunu hayal edin. Ve herhangi bir matematik ifadesinin doğru mu yanlış mı olduğunu anlamak için bu kuralları kullanabileceğinizi düşünün. Ancak Kurt Gödel, bu büyük matematik kuralları kitabıyla ilgili ilginç bir şey keşfetti. Matematikle ilgili bazı doğru ifadelerin kitaptaki kurallar kullanılarak kanıtlanamayacağını buldu.
Bu, evde saklı bir oyuncağı sadece bazı ipuçlarıyla bulmaya çalışmak gibidir, ancak daha sonra verilen ipuçlarıyla erişemeyeceğiniz bir odada saklı bir oyuncak olduğunu fark edersiniz. Aynı şekilde, matematikte de sadece kitaptaki kuralları izleyerek kanıtlayamayacağınız bazı doğru ifadeler vardır. Gödel'in matematik kuralları kitabının "tamamlanmamışlığı" dediği şey budur.
Peki bunun önemi tam olarak nedir? Niçin matematikte olan böylesi bir durumu okuma ihtiyacı hissedelim? Aslında burada mesele biraz çetrefilleşiyor. Çünkü Gödel’in “yapamazsınız” ve “eksik kalıyorsunuz” dediği şey bugün Batılı bilim adamlarının yapay zekâ üzerinden tam olarak hedefledikleri nokta. Gödel'in eksiklik teoremi, tamamen biçimsel bir yapay zekâ sisteminin tüm matematiksel gerçekleri kanıtlayamayacağını ve bu nedenle tamamen biçimsel akıl yürütme yoluyla elde edilebilecek şeylerin sınırlamaları olabileceğini göstermektedir. Yani bilhassa filmlerde çokça işlenen yapay zekanın bir “insanmışçasına” düşünüp, öğrenmesi Gödel’e göre imkansızdır. Çünkü yapay zekanın kodlarında daima birbirini “tamamlayamayan” noktalar olacaktır. Bunu da ancak insanlar fark edip müdahale edecektir.
Gelgelelim başlıkta kullandığımız ifadenin kaynağına. Kurt Gödel, matematiksel nesne ve kavramların fiziksel dünyadan bağımsız bir varoluşa sahip olduğu fikri olan matematiksel gerçekçiliğe olan inancı nedeniyle materyalistler arasında "Platoncu" bir matematikçi olarak anılmıştır. Bu görüş, matematiksel kavramlar da dahil olmak üzere evrendeki her şeyin fiziksel maddeye ve onun etkileşimlerine indirgenebileceği fikri olan materyalizmle çelişmektedir. Gödel'in Platon'dan büyük ölçüde etkilenen felsefi inançları, matematiksel nesnelerin ve gerçeklerin soyut olduğunu ve fiziksel dünyadan ayrı, zamansız bir varoluşa sahip olduğunu savunuyordu. Bu duruşu onu, zamanının daha materyalist eğilimli matematikçileri ve bilim insanları arasında öne çıkarmıştır.
Genel bir özet verdikten sonra kitabımıza tekrar bir göz atabiliriz. Kitap üç bölüme ayrılmıştır: ilk bölümde Gödel'in erken yaşamı ve eğitimi, ikinci bölümde mantık ve matematiğin temelleri üzerine çalışmaları, üçüncü bölümde ise Gödel'in sonraki yılları ve akıl hastalığıyla mücadelesi ele alınmaktadır. Goldstein, kitap boyunca Gödel'in çalışmalarına ve önemine ayrıntılı ve erişilebilir bir veri sağlıyor.
Kitabın güçlü yanlarından biri, Goldstein'ın Gödel'in karmaşık fikirlerini açık ve özlü bir şekilde açıklayabilmesidir. Goldstein, okuyucuyu Gödel'in eksiklik teoremlerinin temel kavramları ve ispatları üzerinden götürerek, bunları matematik veya mantık alanında çok az geçmişi olanlar için bile anlaşılır kılıyor. Ayrıca, o dönemde matematik ve mantık alanının durumunu ve eksiklik teoremlerinin bu alan üzerindeki etkisini tartışarak Gödel'in çalışması için daha geniş bir bağlam sağlıyor. Kitabın bir diğer güçlü yanı da Albert Einstein ile arkadaşlığı ve akıl hastalığıyla mücadelesi de dahil olmak üzere Gödel'in kişisel hayatını ele alma biçimi. Bu kişisel anekdotlar insani bir dokunuş sağlıyor ve kitabı okuyucuyla daha ilişkilendirilebilir kılıyor. Bu insancıllaştırıcı dokunuş, Gödel'in bir kişi olarak daha derinlemesine anlaşılmasını ve okuyucunun onunla daha kişisel bir düzeyde ilişki kurmasını sağlıyor. Kitabın en dikkat çekici yönlerinden biri Goldstein'ın yazım tarzı. Hem ilgi çekici hem de bilgilendirici bir şekilde yazıyor ve kitabı matematik veya mantık konusunda çok az geçmişi olanlar için bile okumayı ve anlamayı kolaylaştırıyor. Gödel'in eksiklik teoremlerinin temel kavramlarını ve ispatlarını açık ve öz bir şekilde açıklayarak mükemmel bir iş çıkarıyor.
Kitabın bir diğer güçlü yanı da Gödel'in çalışmalarını dönemin daha geniş entelektüel ortamı bağlamında ele alması. Goldstein, o dönemde matematik ve mantık alanının durumunu ve eksiklik teoremlerinin bu alan üzerindeki etkisini tartışarak Gödel'in çalışması için daha geniş bir bağlam sağlıyor. Bu, okuyucunun Gödel'in çalışmasının önemini ve alanın daha büyük resmine nasıl uyduğunu daha iyi anlamasına yardımcı oluyor. Kitapta ayrıca Gödel'in çalışmalarını hayata geçirmeye yardımcı olan çok sayıda fotoğraf ve illüstrasyon da yer alıyor. Bu görsel yardımlar, kitabı daha ilgi çekici ve matematik veya mantık alanında güçlü bir geçmişe sahip olmayanlar da dahil olmak üzere daha geniş bir kitle için erişilebilir kılmaya yardımcı oluyor.
Ancak kitabın zayıf yönleri de yok değil. Kitabın bir sınırlaması, Gödel'in mantık ve matematiğe yaptığı diğer katkıları, örneğin seçim aksiyomunun tutarlılığını kanıtlaması ve süreklilik hipotezini tartışmamasıdır. Bunlar kesinlikle önemli çalışmalar olmakla birlikte, eksiklik teoremleri kadar iyi bilinmemektedir ve bu nedenle kitabın ana teması için o kadar önemli olmayabilirler. Ayrıca, kitap Gödel'in çalışmalarının bazı teknik detaylarını basitleştirme eğilimindedir, bu da tamamen doğru veya eksiksiz olmayabilir. Bu durum, Gödel'in ispat ve teoremlerini daha derinlemesine anlamak isteyen yüksek matematik altyapısına sahip okuyucular için bir kısıtlama olarak görülebilir.
Rebecca Goldstein'ın "Tamamlanamazlık: Kurt Gödel'in İspat ve Paradoksu", Gödel'in çalışmalarına ve önemine ayrıntılı ve erişilebilir bir giriş sağlayan, iyi yazılmış ve ilgi çekici bir kitap. Matematik, mantık veya bilim tarihi ile ilgilenen herkes için değerli bir kaynaktır. Kitabın bazı sınırlamaları olsa da, Gödel'in eksiklik teoremlerini ve bunların matematik alanı ve daha geniş entelektüel çevreler üzerindeki etkisini anlamak için mükemmel bir başlangıç noktasıdır.
Abdulkerim Kiracı
Aylık Baran Dergisi 12. Sayı, Şubat 2023.
